ТЪРСИ

Непрекъсната функция

Постоянната функция е функциябез "скокове", т.е. за които условието е изпълнено: малки промени в аргумента са последвани от малки промени в съответните стойности на функцията. Графиката на такава функция е гладка или продължителна крива.

Продължителност в точката, границата за някоикомплекти могат да бъдат дефинирани с помощта на концепцията за лимит, а именно: функция трябва да има граница в тази точка, която е равна на нейната стойност в граничната точка.

Ако тези условия са нарушени в даден момент,че функция в дадена точка страда от прекъсване, т.е. нейната приемственост е нарушена. На езика на границите точката на прекъсване може да се опише като несъответствие на стойността на функция в прекъсната точка с границата на функция (ако съществува).

Точката на прекъсване може да бъде премахната, за товаНеобходимо е да има граница на дадена функция, но не съвпада с нейната стойност в дадена точка. В този случай тя може да бъде "коригирана" на този етап, т.е. тя може да бъде разширена до приемственост.
Създава се съвсем различна картина, ако границата на функцията в дадена точка не съществува. Има два възможни варианта на точките на прекъсване:

  • от първия вид - и двете едностранни ограничения съществуват и са крайни, а стойността на една от тях или и на двете не съвпада със стойността на функцията в дадена точка;
  • от втория вид, когато едната или и двете едностранни ограничения не съществуват или техните ценности са безкрайни.

Свойства на непрекъснатите функции

  • Функцията, получена в резултат на аритметичните операции, както и суперпозицията на непрекъснати функции в тяхната област на дефиниране, също е непрекъсната.
  • Ако бъде дадена непрекъсната функция, която е позитивна в даден момент, винаги може да се намери достатъчно малък квартал, върху който да се запази знакът му.
  • По същия начин, ако неговите стойности са в две точки A и Bса съответно a и b, а е различно от b, то за междинните точки се вземат всички стойности от интервала (a; b). Оттук можем да извлечем интересно заключение: ако дадем опъната каучукова лента да се свие, така че да не се огъне (остава права), тогава една от нейните точки ще остане фиксирана. И геометрично това означава, че има права линия, преминаваща през всяка междинна точка между А и В, която пресича графиката на функцията.

Отбелязваме някои от непрекъснатите (в областта на тяхната дефиниция) елементарни функции:

  • постоянен;
  • рационално;
  • тригонометрия.

Между две основни понятия вматематиката - приемственост и диференциация - има неразривна връзка. Достатъчно е да си припомним, че за диференцируемостта на дадена функция е необходимо тя да бъде непрекъсната функция.

Ако функцията е диференцируема в даден момент, тогава тя е непрекъсната. Въпреки това, не е необходимо неговата производна да бъде непрекъсната.

Функция, която има на определен наборнепрекъснато производно, принадлежи към отделен клас гладки функции. С други думи, това е непрекъснато диференцируема функция. Ако дериватът има ограничен брой точки на прекъсване (само от първия вид), тогава подобна функция се нарича частично гладка.

Друга важна концепция за математически анализе еднаква приемственост на функцията, т.е. нейната способност да бъде еднакво непрекъсната във всяка точка от нейната област на дефиниране. По този начин, тази собственост се счита за набор от точки, а не за никой отделно.

Ако поправите точката, няма да получите товаДруго, тъй като определението за приемственост, т.е. съществуването на единна приемственост, предполага, че имаме непрекъсната функция пред нас. Като цяло обратното не е вярно. Въпреки това, според теоремата на Кантор, ако една функция е непрекъсната върху компактума, т.е. в затворен интервал, тогава тя е равномерно непрекъсната върху нея.

  • Оценка: